Gedächtnisprotokoll STO09-1 - Versionsgeschichte

1steenfa: Bot: Kosmetische Änderungen

2012-06-08T16:09:05Z

Bot: Kosmetische Änderungen

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2012, 16:09 Uhr
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	~~[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll\|STO]]~~		Die Klausur von Herrn Drees fand am 28.07.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt. <br />
	Die Klausur von Herrn Drees fand am 28.07.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt. <br>
	Es gab insgesamt 80 Punkte zu erreichen. Zum Bestehen benötigt man 40 Punkte (Punkte der Teilaufgaben sind in Klammern angegeben).		Es gab insgesamt 80 Punkte zu erreichen. Zum Bestehen benötigt man 40 Punkte (Punkte der Teilaufgaben sind in Klammern angegeben).

Zeile 17:		Zeile 16:
	Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 3, 4 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.		Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 3, 4 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.

	[[Bild:~~Sto_tabular~~.png]]		[[Bild:Sto tabular.png]]

	a) Bestimmen Sie die Zähldichte von <math>X</math> und <math>Y</math>. <br>		a) Bestimmen Sie die Zähldichte von <math>X</math> und <math>Y</math>. <br />
	b) Sind <math>X</math> und <math>Y</math> stochastisch unabhängig? Begründen Sie! <br>		b) Sind <math>X</math> und <math>Y</math> stochastisch unabhängig? Begründen Sie! <br />
	c) Berechnen Sie die Kovarianz von <math>X</math> und <math>Y</math>. <br>		c) Berechnen Sie die Kovarianz von <math>X</math> und <math>Y</math>. <br />
	(16 Punkte)		(16 Punkte)

Zeile 31:		Zeile 30:
	== Aufgabe 5) ==		== Aufgabe 5) ==

	Sei <math>f(x) = cx (1-x)1_{(0,1)}(x)</math> , <math>x \in \R</math> <br>		Sei <math>f(x) = cx (1-x)1_{(0,1)}(x)</math> , <math>x \in \R</math> <br />
	a) Wie ist <math>c</math> zu wählen, damit <math>f</math> eine Dichte ist? <br>		a) Wie ist <math>c</math> zu wählen, damit <math>f</math> eine Dichte ist? <br />
	b) Sei <math>X</math> eine Zufallsvariable mit Dichte <math>f</math>. Berechnen sie <math>E(X)</math> und <math>Var(X)</math>. <br>		b) Sei <math>X</math> eine Zufallsvariable mit Dichte <math>f</math>. Berechnen sie <math>E(X)</math> und <math>Var(X)</math>. <br />
	c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen Sie dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere Schranke für diese Wahrscheinlichkeit. <br>		c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen Sie dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere Schranke für diese Wahrscheinlichkeit. <br />
	(16 Punkte)		(16 Punkte)

Zeile 41:		Zeile 40:
	Es werden <math>n</math> unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen <math>X_{1}, ..., X_{n}</math> mit Verteilungsfunktion <math>F_{\vartheta } (x) = (1 - (\frac{x}{\vartheta})^{-2})1_{ [ \vartheta , \infty )}(x)</math>, <math>x \in \R</math> , beobachtet, wobei der Parameter <math>\vartheta > 0</math> unbekannt sei.		Es werden <math>n</math> unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen <math>X_{1}, ..., X_{n}</math> mit Verteilungsfunktion <math>F_{\vartheta } (x) = (1 - (\frac{x}{\vartheta})^{-2})1_{ [ \vartheta , \infty )}(x)</math>, <math>x \in \R</math> , beobachtet, wobei der Parameter <math>\vartheta > 0</math> unbekannt sei.

	a) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>		a) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br />
	b) Zeigen sie, dass für den Maximum-Likelihood-Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \geq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>		b) Zeigen sie, dass für den Maximum-Likelihood-Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \geq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br />
	c) Verwenden Sie b) um zwei einseitige Konfidenzintervalle der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>		c) Verwenden Sie b) um zwei einseitige Konfidenzintervalle der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br />
	(20 Punkte)		(20 Punkte)

			[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll\|STO]]

82.83.98.48: Umlaute im Einleitungstext

2009-07-28T18:16:43Z

Umlaute im Einleitungstext

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2009, 18:16 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll\|STO]]		[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll\|STO]]
	Die Klausur von Herrn Drees fand am 28.07.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder ~~Buecher~~ waren nicht erlaubt. <br>		Die Klausur von Herrn Drees fand am 28.07.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt. <br>
	Es gab insgesamt 80 Punkte zu erreichen. Zum Bestehen ~~benoetigt~~ man 40 Punkte (Punkte der Teilaufgaben sind in Klammern angegeben).		Es gab insgesamt 80 Punkte zu erreichen. Zum Bestehen benötigt man 40 Punkte (Punkte der Teilaufgaben sind in Klammern angegeben).

	== Aufgabe 1) ==		== Aufgabe 1) ==

82.83.98.48: Kleinigkeiten

2009-07-28T18:16:04Z

Kleinigkeiten

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2009, 18:16 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	== Aufgabe 1) ==		== Aufgabe 1) ==

	Seien A, B, C drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass P(A) = 0,6, <math>P(A \cap B \cap C) = 0,3</math> und <math>P((A \cup B) \setminus C) = 0,7</math> . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(B \setminus A)</math> ? Begründen sie ihre Antwort! (8 Punkte)		Seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass <math>P(A) = 0,6</math>, <math>P(A \cap B \cap C) = 0,3</math> und <math>P((A \cup B) \setminus C) = 0,7</math> . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(B \setminus A)</math> ? Begründen sie ihre Antwort! (8 Punkte)


	== Aufgabe 2) ==		== Aufgabe 2) ==

	Ein Würfel werde zwei mal geworfen. Sei A das Ereignis, dass im 1. Wurf eine Augenzahl von höchstens 3 fällt, B das Ereignis, dass die Summe der beiden Augenzahlen gerade ist. Berechnen sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A \~~setminus~~ B)</math>! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen sie ihre Antwort! (12 Punkte)		Ein Würfel werde zwei mal geworfen. Sei <math>A</math> das Ereignis, dass im 1. Wurf eine Augenzahl von höchstens 3 fällt, <math>B</math> das Ereignis, dass die Summe der beiden Augenzahlen gerade ist. Berechnen sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A \mid B)</math>! Sind <math>A</math> und <math>B</math> stochastisch unabhängig? Begründen sie ihre Antwort! (12 Punkte)


	== Aufgabe 3) ==		== Aufgabe 3) ==

	Sei X eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>- wertige Zufallsvariable und Y eine <math>\lbrace 3, 4 \rbrace</math>- wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten P<math>\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.		Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 3, 4 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.

	[[Bild:Sto_tabular.png]]		[[Bild:Sto_tabular.png]]

	a) Bestimmen Sie die Zähldichte von X und Y. <br>		a) Bestimmen Sie die Zähldichte von <math>X</math> und <math>Y</math>. <br>
	b) Sind X und Y stochastisch unabhängig. Begründen Sie! <br>		b) Sind <math>X</math> und <math>Y</math> stochastisch unabhängig? Begründen Sie! <br>
	c) Berechnen ~~sie~~ die Kovarianz von X und Y. <br>		c) Berechnen Sie die Kovarianz von <math>X</math> und <math>Y</math>. <br>
	(16 Punkte)		(16 Punkte)

	== Aufgabe 4) ==		== Aufgabe 4) ==

	40 % aller Handyverträge werden von weiblichen Personen abgeschlossen, 60 % von männlichen Personen. Für eine Umfrage werden 100 Verträge rein zufällig ausgewählt. Geben Sei eine Approximation für die Wahrscheinlichkeit an, dass von den entsprechenden Vertragsinhabern mindestens 40 und höchstens 50 Personen weiblich sind! (8 Punkte)		40% aller Handyverträge werden von weiblichen Personen abgeschlossen, 60% von männlichen Personen. Für eine Umfrage werden 100 Verträge rein zufällig ausgewählt. Geben Sei eine Approximation für die Wahrscheinlichkeit an, dass von den entsprechenden Vertragsinhabern mindestens 40 und höchstens 50 Personen weiblich sind! (8 Punkte)


Zeile 32:		Zeile 32:

	Sei <math>f(x) = cx (1-x)1_{(0,1)}(x)</math> , <math>x \in \R</math> <br>		Sei <math>f(x) = cx (1-x)1_{(0,1)}(x)</math> , <math>x \in \R</math> <br>
	a) Wie ist c zu wählen damit f eine Dichte ist ? <br>		a) Wie ist <math>c</math> zu wählen, damit <math>f</math> eine Dichte ist? <br>
	b) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f. Berechnen sie E(X) und Var(X). <br>		b) Sei <math>X</math> eine Zufallsvariable mit Dichte <math>f</math>. Berechnen sie <math>E(X)</math> und <math>Var(X)</math>. <br>
	c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen ~~sie~~ dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere ~~Scranke~~ für diese Wahrscheinlichkeit. <br>		c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen Sie dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere Schranke für diese Wahrscheinlichkeit. <br>
	(16 Punkte)		(16 Punkte)

	== Aufgabe 6) ==		== Aufgabe 6) ==

	Es werden n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen <math>X_{1}, ..., X_{n}</math> mit Verteilungsfunktion <math>F_{\vartheta } (x) = (1 - (\frac{x}{\vartheta})^{-2})1_{ [ \vartheta , \infty )}(x)</math>, <math>x \in \R</math> , beobachtet, wobei der Parameter <math>\vartheta > 0</math> unbekannt sei.		Es werden <math>n</math> unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen <math>X_{1}, ..., X_{n}</math> mit Verteilungsfunktion <math>F_{\vartheta } (x) = (1 - (\frac{x}{\vartheta})^{-2})1_{ [ \vartheta , \infty )}(x)</math>, <math>x \in \R</math> , beobachtet, wobei der Parameter <math>\vartheta > 0</math> unbekannt sei.

	a) Bestimmen ~~sie~~ einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>		a) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>
	b) Zeigen, ~~sie~~ dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \geq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>		b) Zeigen sie, dass für den Maximum-Likelihood-Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \geq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>
	c) Verwenden ~~sie~~ b) um zwei einseitige ~~konfidenzintervall~~ der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>		c) Verwenden Sie b) um zwei einseitige Konfidenzintervalle der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>
	(20 Punkte)		(20 Punkte)

SnuK: /* Aufgabe 3) */

2009-07-28T13:01:35Z

Aufgabe 3)

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2009, 13:01 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	Sei X eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>- wertige Zufallsvariable und Y eine <math>\lbrace 3, 4 \rbrace</math>- wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten P<math>\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.		Sei X eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>- wertige Zufallsvariable und Y eine <math>\lbrace 3, 4 \rbrace</math>- wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten P<math>\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.

	~~Tabelle ...~~.		[[Bild:Sto_tabular.png]]

	a) Bestimmen Sie die Zähldichte von X und Y. <br>		a) Bestimmen Sie die Zähldichte von X und Y. <br>
Zeile 23:		Zeile 23:
	c) Berechnen sie die Kovarianz von X und Y. <br>		c) Berechnen sie die Kovarianz von X und Y. <br>
	(16 Punkte)		(16 Punkte)


	== Aufgabe 4) ==		== Aufgabe 4) ==

SnuK: /* Aufgabe 6) */

2009-07-28T12:48:50Z

Aufgabe 6)

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2009, 12:48 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>		a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>
	b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \~~req~~ 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>		b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \geq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>
	c) Verwenden sie b) um zwei einseitige konfidenzintervall der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>		c) Verwenden sie b) um zwei einseitige konfidenzintervall der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>
	(20 Punkte)		(20 Punkte)

SnuK: /* Aufgabe 6) */

2009-07-28T12:47:41Z

Aufgabe 6)

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2009, 12:47 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>		a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>
	b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \~~leq~~ 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>		b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \req 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>
	c) Verwenden sie b) um zwei einseitige konfidenzintervall der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>		c) Verwenden sie b) um zwei einseitige konfidenzintervall der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>
	(20 Punkte)		(20 Punkte)

Jackeraner am 28. Juli 2009 um 12:38 Uhr

2009-07-28T12:38:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2009, 12:38 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll\|STO]]		[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll\|STO]]
	Die Klausur von Herrn Drees fand am 28.07.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Buecher waren nicht erlaubt.		Die Klausur von Herrn Drees fand am 28.07.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Buecher waren nicht erlaubt. <br>
			Es gab insgesamt 80 Punkte zu erreichen. Zum Bestehen benoetigt man 40 Punkte (Punkte der Teilaufgaben sind in Klammern angegeben).

	== Aufgabe 1) ==		== Aufgabe 1) ==

	Seien A, B, C drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass P(A) = 0,6, <math>P(A \cap B \cap C) = 0,3</math> und <math>P((A \cup B) \setminus C) = 0,7</math> . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(B \setminus A)</math> ? Begründen sie ihre Antwort!		Seien A, B, C drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass P(A) = 0,6, <math>P(A \cap B \cap C) = 0,3</math> und <math>P((A \cup B) \setminus C) = 0,7</math> . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(B \setminus A)</math> ? Begründen sie ihre Antwort! (8 Punkte)


	== Aufgabe 2) ==		== Aufgabe 2) ==

	Ein Würfel werde zwei mal geworfen. Sei A das Ereignis, dass im 1. Wurf eine Augenzahl von höchstens 3 fällt, B das Ereignis, dass die Summe der beiden Augenzahlen gerade ist. Berechnen sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A \setminus B)</math>! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen sie ihre Antwort!		Ein Würfel werde zwei mal geworfen. Sei A das Ereignis, dass im 1. Wurf eine Augenzahl von höchstens 3 fällt, B das Ereignis, dass die Summe der beiden Augenzahlen gerade ist. Berechnen sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A \setminus B)</math>! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen sie ihre Antwort! (12 Punkte)


Zeile 20:		Zeile 21:
	a) Bestimmen Sie die Zähldichte von X und Y. <br>		a) Bestimmen Sie die Zähldichte von X und Y. <br>
	b) Sind X und Y stochastisch unabhängig. Begründen Sie! <br>		b) Sind X und Y stochastisch unabhängig. Begründen Sie! <br>
	c) Berechnen sie die Kovarianz von X und Y.		c) Berechnen sie die Kovarianz von X und Y. <br>
			(16 Punkte)


	== Aufgabe 4) ==		== Aufgabe 4) ==

	40 % aller Handyverträge werden von weiblichen Personen abgeschlossen, 60 % von männlichen Personen. Für eine Umfrage werden 100 Verträge rein zufällig ausgewählt. Geben Sei eine Approximation für die Wahrscheinlichkeit an, dass von den entsprechenden Vertragsinhabern mindestens 40 und höchstens 50 Personen weiblich sind!		40 % aller Handyverträge werden von weiblichen Personen abgeschlossen, 60 % von männlichen Personen. Für eine Umfrage werden 100 Verträge rein zufällig ausgewählt. Geben Sei eine Approximation für die Wahrscheinlichkeit an, dass von den entsprechenden Vertragsinhabern mindestens 40 und höchstens 50 Personen weiblich sind! (8 Punkte)


Zeile 33:		Zeile 35:
	a) Wie ist c zu wählen damit f eine Dichte ist ? <br>		a) Wie ist c zu wählen damit f eine Dichte ist ? <br>
	b) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f. Berechnen sie E(X) und Var(X). <br>		b) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f. Berechnen sie E(X) und Var(X). <br>
	c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen sie dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere Scranke für diese Wahrscheinlichkeit.		c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen sie dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere Scranke für diese Wahrscheinlichkeit. <br>
			(16 Punkte)

	== Aufgabe 6) ==		== Aufgabe 6) ==
Zeile 41:		Zeile 44:
	a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>		a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>
	b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \leq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>		b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \leq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>
	c) Verwenden sie b) um zwei einseitige konfidenzintervall der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind.		c) Verwenden sie b) um zwei einseitige konfidenzintervall der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind. <br>
			(20 Punkte)

SnuK: /* Aufgabe 5) */

2009-07-28T12:29:09Z

Aufgabe 5)

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2009, 12:29 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	== Aufgabe 5) ==		== Aufgabe 5) ==

	Sei <math>f(x) = cx (1-x)1_{(0,1)}(x)</math> , <math>x \in \R</math>		Sei <math>f(x) = cx (1-x)1_{(0,1)}(x)</math> , <math>x \in \R</math> <br>
	a) Wie ist c zu wählen damit f eine Dichte ist ? <br>		a) Wie ist c zu wählen damit f eine Dichte ist ? <br>
	b) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f. Berechnen sie E(X) und Var(X). <br>		b) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f. Berechnen sie E(X) und Var(X). <br>
	c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen sie dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere Scranke für diese Wahrscheinlichkeit.		c) Berechnen sie <math>P \lbrace \frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4} \rbrace</math>. Bestimmen sie dann mit Hilfe der Chebyshev'schen Ungleichung eine untere Scranke für diese Wahrscheinlichkeit.


	== Aufgabe 6) ==		== Aufgabe 6) ==

SnuK am 28. Juli 2009 um 12:11 Uhr

2009-07-28T12:11:36Z

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	a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>		a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>
	b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \leq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer?		b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \leq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer? <br>
			c) Verwenden sie b) um zwei einseitige konfidenzintervall der Form <math>(0, T_{1}]</math> bzw. <math>[T_{2}, \infty )</math> jeweils zum Niveau <math>\alpha \in (0, 1)</math> für <math>\vartheta</math> zu konstruieren, wobei <math>T_{1}</math> und <math>T_{2}</math> geeignete von den Beobachtungen abhängige Zufallsvariablen sind.

SnuK am 28. Juli 2009 um 12:07 Uhr

2009-07-28T12:07:11Z

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	a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>		a) Bestimmen sie einen Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> für <math>\vartheta</math> <br>
	b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \leq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>		b) Zeigen, sie dass für den Maximum Likelihood Schätzer <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> und alle <math>t \leq 1</math> gilt: <math>P \lbrace \frac{\hat{\vartheta_{n}}}{\vartheta} > t \rbrace = t^{-2n}</math>. Ist <math>\hat{\vartheta_{n}}</math> ein erwartungstreuer Schätzer?