Gedächtnisprotokoll DM08-1

2008-02-28T11:13:10Z

84.144.64.118: /* Aufgabe 8 */ Latex

Gedächtnisprotokoll der Klausur zur DM Veranstaltung im WS07/08 gehalten von [http://www.math.uni-hamburg.de/home/blunck/ Prof. Dr. Andrea Blunck].

== Aufgabe 1 ==
(4 Punkte)

<math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x,y) = xy</math>

Ist f injektiv?
Ist f surjektiv?

== Aufgabe 2 ==
(7 Punkte)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

<math>\sum^n_{k=2} \left( \begin{array}{c}k \\ 2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}n + 1 \\ n - 2 \end{array}\right) \mbox{ für } n >= 2</math>

== Aufgabe 3 ==
(10 Punkte)

a) 3 Punkte
Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil.

<math>z = {{11-8i}\over{-4+2i}}</math>

b) 7 Punkte
Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizen AB, BA, AC und CA.

<math>A=\left(\begin{array}{cc}2i & 2+i\end{array}\right)</math>

<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>

<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>

Schreiben Sie dabei die Einträge der Matrizen jeweils in der Form <math>a+bi</math>

== Aufgabe 4 ==
(11 Punkte)

a) 3 Punkte
Berechnen Sie das multiplikative Inverse von a=19 und b=16 in Z20

b) 8 Punkte
Zeigen Sie mit dem euklidischen Algorithmus, dass ggT(168, 517)=1 ist und berechnen Sie anschließend das multiplikative Inverse von 168 in Z517.

== Aufgabe 5 ==
(10 Punkte)
Sei G ein Graph und jede 2-elementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind genau dann miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Teilmengen von M disjunkt sind (also einen leeren Durchschnitt haben).

a) (2 Punkte) Wieviele Knoten hat G?

b) (3 Punkte) Zeigen sie, dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6

c) (2 Punkte) Besitzt G eine Eulersche Linie?

d) (3 Punkte) Wieviele Kanten hat G?

Hinweis: Für c) und d) können Sie die Aussage aus b) verwenden.

== Aufgabe 6 ==
(8 Punkte)
Lösen Sie folgende Rekursion:

<math>u_{0} = 0</math>

<math>u_{1} = 14</math>

<math>u_{n+2} = -3u_{n+1} + 10u_n</math> <math>(n >= 0)</math>

== Aufgabe 7 ==
(10 Punkte)

a) 2 Punkte
Bestimmen Sie alle a für die v1=(1,a) und v2=(2,3) linear abhängig sind.

b) 8 Punkte
f(x1, x2, x3) = (x1 + 3x2, x1, 3x2)

Geben sie die zugehörige Matrix A an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis für Kernf und Bildf an.

== Aufgabe 8 ==
(11 Punkte)

Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.

<math>
\begin{array}{rcrcrcrcr}
x &+& 2x^2 &-& 3x^3 &+& 2x^4 &=& 2\\
2x &+& 5x^2 &-& 8x^3 &+& 6x^4 &=& 5\\
3x &+& 4x^2 &-& 5x^3 &+& 2x^4 &=& 4\\
\end{array}
</math>

[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll]]

Gedächtnisprotokoll DM08-1

2008-02-28T11:10:08Z

84.144.64.118: /* Aufgabe 1 */

Gedächtnisprotokoll der Klausur zur DM Veranstaltung im WS07/08 gehalten von [http://www.math.uni-hamburg.de/home/blunck/ Prof. Dr. Andrea Blunck].

== Aufgabe 1 ==
(4 Punkte)

<math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x,y) = xy</math>

Ist f injektiv?
Ist f surjektiv?

== Aufgabe 2 ==
(7 Punkte)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

<math>\sum^n_{k=2} \left( \begin{array}{c}k \\ 2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}n + 1 \\ n - 2 \end{array}\right) \mbox{ für } n >= 2</math>

== Aufgabe 3 ==
(10 Punkte)

a) 3 Punkte
Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil.

<math>z = {{11-8i}\over{-4+2i}}</math>

b) 7 Punkte
Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizen AB, BA, AC und CA.

<math>A=\left(\begin{array}{cc}2i & 2+i\end{array}\right)</math>

<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>

<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>

Schreiben Sie dabei die Einträge der Matrizen jeweils in der Form <math>a+bi</math>

== Aufgabe 4 ==
(11 Punkte)

a) 3 Punkte
Berechnen Sie das multiplikative Inverse von a=19 und b=16 in Z20

b) 8 Punkte
Zeigen Sie mit dem euklidischen Algorithmus, dass ggT(168, 517)=1 ist und berechnen Sie anschließend das multiplikative Inverse von 168 in Z517.

== Aufgabe 5 ==
(10 Punkte)
Sei G ein Graph und jede 2-elementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind genau dann miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Teilmengen von M disjunkt sind (also einen leeren Durchschnitt haben).

a) (2 Punkte) Wieviele Knoten hat G?

b) (3 Punkte) Zeigen sie, dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6

c) (2 Punkte) Besitzt G eine Eulersche Linie?

d) (3 Punkte) Wieviele Kanten hat G?

Hinweis: Für c) und d) können Sie die Aussage aus b) verwenden.

== Aufgabe 6 ==
(8 Punkte)
Lösen Sie folgende Rekursion:

<math>u_{0} = 0</math>

<math>u_{1} = 14</math>

<math>u_{n+2} = -3u_{n+1} + 10u_n</math> <math>(n >= 0)</math>

== Aufgabe 7 ==
(10 Punkte)

a) 2 Punkte
Bestimmen Sie alle a für die v1=(1,a) und v2=(2,3) linear abhängig sind.

b) 8 Punkte
f(x1, x2, x3) = (x1 + 3x2, x1, 3x2)

Geben sie die zugehörige Matrix A an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis für Kernf und Bildf an.

== Aufgabe 8 ==
(11 Punkte)

Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.

<pre>
x1 + 2x2 - 3x3 + 2x4 = 2
2x1 + 5x2 - 8x3 + 6x4 = 5
3x1 + 4x2 - 5x3 + 2x4 = 4
</pre>

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